Verschil tussen Riemann Integral en Lebesgue Integral
Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integratie is een hoofdonderwerp in de calculus. In broeders zin kan integratie gezien worden als het omgekeerde proces van differentiatie. Bij het modelleren van real-world problemen, is het makkelijk om uitdrukkingen te schrijven die derivaten betreffen. In een dergelijke situatie is de integratieoperatie vereist om de functie te vinden die het bepaalde afgeleide gegeven heeft.
Integratie is vanuit een andere hoek een proces dat het product van een functie ƒ (x) en δx samenvat, waarbij δx een bepaalde limiet is. Daarom gebruiken we het integratie symbool als ∫. Het symbool ∫ is in feite wat we verkrijgen door de letter s uit te breiden om sum te noemen.
Riemann Integral
Beschouw een functie y = ƒ (x). De integraal van y tussen a en b, waar a en b behoren tot een set x, is geschreven als b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F < (b) - F (a). Dit heet een bepaald integraal van de enkele waardevolle en continue functie y = ƒ (x) tussen a en b. Dit geeft het gebied onder de kromme tussen a en b. Dit heet ook Riemann integraal. Riemann integraal is gemaakt door Bernhard Riemann. Riemann integraal van een continue functie is gebaseerd op de Jordaan maatregel, daarom wordt het ook gedefinieerd als de limiet van de Riemann som van de functie. Voor een echte gewaardeerde functie die is gedefinieerd op een gesloten interval, wordt het Riemann-integraal van de functie ten opzichte van een partitie x 1 , 2 , …, x n gedefinieerd op het interval [a, b] en t 1 , t 2 , …, t n , waarbij x i ≤ t i ≤ x i + 1 voor elke i ε {1, 2, …, n}, Riemann som wordt gedefinieerd als Σ i = o tot n-1 ƒ (t i ) (x i + 1 - x i ).
Waarom moeten we nog een integraal studeren?
Let op de kenmerkende functie ƒA (x) =
{ 0 als, x niet ε A 1 als, x ε A op een set A. Dan eindige lineaire combinatie van karakteristieke functies, die wordt gedefinieerd als F (x) = Σ a i ƒ E i (x) heet de eenvoudige functie als E i meetbaar is voor elke i. Het libesgue-integraal van F (x) over E wordt aangeduid met E ∫ ƒ (x) dx. De functie F (x) is niet Riemann integreerbaar. Daarom omschrijft de integratie van Lebesgue het Riemann-integraal, wat enkele beperkingen heeft op de te integreren functies.
|
· Het Lebesgue-integraal zorgt voor een tijdelijke oneindigheid van discontinuïteiten, terwijl het Riemann-integraal een eindig aantal discontinuïteiten mogelijk maakt. Aanbevolen |
