Verschil tussen rationele en irrationele getallen Verschil tussen
De term 'getallen' brengt ons in gedachten wat in het algemeen wordt geclassificeerd als positieve gehele getallen groter dan nul. Andere klassen getallen bevatten gehele getallen en breuken , complexe en reële getallen en ook negatieve gehele getallen .
Door de classificaties van nummers verder uit te breiden, komen we rationele en irrationele nummers tegen. Een rationeel getal is een getal dat als een breuk kan worden geschreven. Met andere woorden, het rationale getal kan worden geschreven als een verhouding van twee getallen.
Beschouw bijvoorbeeld het nummer 6 . Het kan worden geschreven als de verhouding van twee getallen, te weten. 6 en 1 , leidend tot de verhouding 6/1 . Evenzo is 2/3 , dat is geschreven als een breuk, een rationaal getal.
We kunnen dus een rationaal getal definiëren, als een getal geschreven in de vorm van een breuk, waarin zowel de teller (het getal bovenaan) als de noemer (het getal aan de onderkant) hele getallen zijn. Per definitie is daarom elk geheel getal ook een rationaal getal.
Een verhouding van twee grote getallen zoals ( 129, 367, 871 ) / ( 547, 724, 863 ) zou ook een voorbeeld van een rationaal getal zijn om de eenvoudige reden dat zowel de teller als de noemer hele getallen zijn.
Omgekeerd wordt elk getal dat niet in de vorm van een breuk of een verhouding kan worden uitgedrukt, als irrationeel aangeduid. Het meest aangehaalde voorbeeld van een irrationeel getal is √ 2 ( 1. 414213 …) . Een ander populair voorbeeld van een irrationeel getal is de numerieke constante π ( 3. 141592 … ) .
Een irrationeel getal kan worden geschreven als een decimaal, maar niet als een breuk. Irrationele getallen worden niet vaak gebruikt in het dagelijks leven, hoewel ze wel voorkomen op de getallenlijn. Er is een oneindig aantal irrationele getallen tussen 0 en 1 op de getallenlijn. Een irrationeel getal heeft eindeloze niet-herhalende cijfers rechts van de komma.
Merk op dat de vaak geciteerde waarde van 22/7 voor de constante π in feite slechts één is van de waarden van π >. Per definitie is de omtrek van een cirkel gedeeld door tweemaal de straal de waarde van π. Dit leidt tot meerdere waarden van π , inclusief, maar niet beperkt tot 333/106, 355/113 en zo verder1. Alleen de vierkantswortels van de vierkante cijfers; ik. e., de vierkantswortels van de
perfecte vierkanten zijn rationeel.
= 1 (Rational) √2
(Irrationeel) √3
(Irrationeel) √4 < = 2
(Rational) √5, √6, √7, √8 (Irrationeel)
√9 = 3
(Rational) enzovoort. Verder stellen we vast dat alleen de n
th roots van n de machten rationeel zijn. Dus is de 6e root van 64 redelijk, omdat 64 een 6e kracht is, namelijk de 6e kracht van 2 . Maar de 6e root van 63 is irrationeel. 63 is geen perfect 6 th vermogen.
rationaal
-nummer als een decimaal geven, is de decimaal exact (zoals in 1/5 = 0. 20) of het is niet correct (zoals in, 1/3 ≈ 0. 3333 ). In beide gevallen is er een voorspelbaar patroon van cijfers. Merk op dat wanneer een irrationeel getal wordt uitgedrukt als een decimaal, het duidelijk niet zal kloppen, omdat het getal anders rationeel zou zijn. Bovendien zal er geen voorspelbaar patroon van cijfers zijn. Bijvoorbeeld √2 ≈
1. 4142135623730950488016887242097
Nu komen we met rationele getallen af en toe 1/11 = 0. 0909090
tegen. Het gebruik van zowel het gelijkteken ( =) als drie punten ( ellipsis ) houdt in dat het niet mogelijk is om 1/11 exact uit te drukken als een decimaal kunnen we dit nog steeds benaderen met zoveel decimalen als toegestaan is om dichtbij 1/11 te komen. Dus de decimale vorm van 1/11
wordt onnauwkeurig geacht. Op dezelfde manier is de decimale vorm van ¼ , die gelijk is aan 0. 25, exact. Naar de decimale vorm voor irrationele getallen komen, ze zullen altijd onnauwkeurig zijn. Verdergaand met het voorbeeld van √
2 , wanneer we √2 = 1. 41421356237 … schrijven (let op het gebruik van ellips), betekent dit meteen dat er geen decimaal is voor > √2 zal exact zijn. Verder zal er geen voorspelbaar patroon van cijfers zijn. Met behulp van concepten uit numerieke methoden kunnen we opnieuw rationeel ongeveer even veel decimalen berekenen als tot op zo'n punt dat we dichtbij √2 zijn. Elke opmerking over rationele en irrationele getallen kan niet eindigen zonder het verplichte bewijs waarom √2 irrationeel is. Daarbij lichten we ook toe, het klassieke voorbeeld van een proef met cont uitstraling.
Stel dat √2 rationeel is. Dit brengt ons ertoe om het weer te geven als een verhouding van twee gehele getallen, zeg p
enq . √2 = p / q Uiteraard hebben p
en
q geen gemeenschappelijke factoren, want als er gemeenschappelijke factoren zouden zijn, zouden we hebben geannuleerd ze uit de teller en de noemer. Aan beide zijden van de vergelijking kwadreren, eindigen we met
2
/ q2 Dit kan gemakkelijk worden geschreven als, p 2
= 2q > 2
De laatste vergelijking suggereert dat p 2 gelijk is. Dit is alleen mogelijk als
p zelf even is. Dit impliceert op zijn beurt dat p 2 deelbaar is door 4 . Daarom moet q 2 en dus q gelijk zijn.Dus p en q zijn beide even, wat in tegenspraak is met onze aanvankelijke veronderstelling dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben. Dus √2 kan niet rationeel zijn. Q. E. D.
