Verschil tussen willekeurige variabelen en waarschijnlijkheidsverdeling
Willekeurige variabelen vs waarschijnlijkheidsverdeling
Statistische experimenten zijn willekeurige experimenten die onbepaald kunnen worden herhaald met een bekende reeks uitkomsten. Zowel willekeurige variabelen als kansverdelingen worden geassocieerd met dergelijke experimenten. Voor elke willekeurige variabele is er een bijbehorende kansverdeling gedefinieerd door een functie genaamd cumulatieve verdelingsfunctie.
Wat is een willekeurige variabele?
Een willekeurige variabele is een functie die numerieke waarden toewijst aan de resultaten van een statistisch experiment. Met andere woorden, het is een functie die is gedefinieerd uit de steekproefruimte van een statistisch experiment in de reeks echte getallen.
Overweeg bijvoorbeeld een willekeurig experiment om een munt twee keer te draaien. De mogelijke resultaten zijn HH, HT, TH en TT (H - heads, T - tales). Laat de variabele X het aantal koppen waargenomen in het experiment. Dan kan X de waarden 0, 1 of 2 nemen en het is een willekeurige variabele. Hier zal de willekeurige variabele X de set S = {HH, HT, TH, TT} (de steekproefruimte) op de set {0, 1, 2} op een zodanige manier dat HH is toegewezen aan 2, HT en TH worden toegewezen aan 1 en TT is in kaart gebracht op 0. In functienotatie kan dit worden geschreven als: X: S → R waar X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 en X TT) = 0.
Er zijn twee typen willekeurige variabelen: discreet en continu, dus het aantal mogelijke waarden dat een willekeurige variabele kan aannemen is het meest tellen of niet. In het vorige voorbeeld is de willekeurige variabele X een discrete willekeurige variabele aangezien {0, 1, 2} een eindige set is. Beschouw nu het statistische experiment om de gewichten van studenten in een klas te vinden. Laat Y de willekeurige variabele zijn die gedefinieerd is als het gewicht van een student. Y kan elke echte waarde binnen een bepaald interval nemen. Vandaar dat Y een continue willekeurige variabele is.
Wat is een kansverdeling?
Waarschijnlijkheidsverdeling is een functie die de waarschijnlijkheid van een willekeurige variabele die bepaalde waarden neemt, beschrijft.
Een functie genaamd cumulatieve verdelingsfunctie (F) kan worden gedefinieerd vanuit de reeks reële getallen naar de set van reële getallen als F (x) = P (X ≤ x) (de kans dat X minder dan of gelijk aan x) voor elk mogelijk resultaat x. Nu kan de cumulatieve verdelingsfunctie van X in het eerste voorbeeld worden geschreven als F (a) = 0, als a <0; f (a) = 0. 25, als 0≤a <1; f (a) = 0. 75, als 1≤a <2>
In geval van discrete willekeurige variabelen, kan een functie worden gedefinieerd vanuit de set van mogelijke resultaten naar de set van reële getallen op een zodanige wijze dat ƒ (x) = P (X = x) (de kans dat X gelijk is aan x) voor elk mogelijk resultaat x. Deze specifieke functie ƒ heet de waarschijnlijkheidsmassiefunctie van de willekeurige variabele X.Nu kan de waarschijnlijkheidsmassiefunctie van X in het eerste specifieke voorbeeld worden geschreven als ƒ (0) = 0. 25, ƒ (1) = 0. 5, ƒ (2) = 0. 25, en ƒ (x) = 0 anders. Zo zal de kansmassiefunctie samen met de cumulatieve distributiefunctie de waarschijnlijkheidsverdeling van X in het eerste voorbeeld beschrijven.
In het geval van continue willekeurige variabelen kan een functie genaamd de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie (ƒ) worden gedefinieerd als ƒ (x) = dF (x) / dx voor elke x waar F de cumulatieve verdelingsfunctie van de continue willekeur is variabel. Het is gemakkelijk om te zien dat deze functie voldoet aan ∫ƒ (x) dx = 1. De waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie, samen met de cumulatieve verdelingsfunctie, beschrijft de kansverdeling van een continue willekeurige variabele. Bijvoorbeeld, de normale verdeling (die een continue kansverdeling is) wordt beschreven met behulp van de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2 ) e ^ ([(x-μ)] < 2 / (2σ 2 )). Wat is het verschil tussen willekeurige variabelen en waarschijnlijkheidsverdeling?
