Verschil tussen arithmetische sequentie en geometrische sequentie: rekenkundige vs geometrische sequentie | Aritmetische vs Geometrische Progressie

Arithmetische sequentie versus geometrische sequentie

Het onderzoek naar patronen van getallen en hun gedrag is een belangrijke studie op het gebied van wiskunde. Deze patronen kunnen vaak in de natuur gezien worden en helpen ons hun gedrag wetenschappelijk uit te leggen. Arithmetische sequenties en geometrische sequenties zijn twee van de basispatronen die voorkomen in getallen, en vaak in natuurverschijnselen.

De volgorde is een reeks bestelde nummers. Het aantal elementen in de volgorde kan ofwel eindig of oneindig zijn.

Meer over Arithmetische sequentie (Arithmetrische Progressie)

Een rekenkundige sequentie wordt gedefinieerd als een reeks getallen met een constant verschil tussen elke opeenvolgende termijn. Het staat ook bekend als rekenkundige progressie.

Arithmetische Sequnece ⇒ a ₁ , a ₂ , a _3, a ₄ , …, a _{n <; waar een} 2 _{= a} 1 _{+ d, a} 3 _{= a} 2 _{+ d, enzovoort.}

Als de eerste term een ​​

1 _{is en het gemeenschappelijke verschil d is, dan wordt de n} th ^{term van de sequentie gegeven door;} a

n _{= a} 1 _{+ (n-1) d} Door het bovenstaande resultaat verder te nemen, kan de n

th ^{term worden gegeven ook als;} a

n _{= a} m _{+ (nm) d,} waar een m _{een willekeurige term in de volgorde is, zodat n> m.}

Het aantal even getallen en het aantal oneven getallen zijn de eenvoudigste voorbeelden van rekenkundige sequenties, waarbij elke sequentie een gemeenschappelijk verschil (d) van 2 heeft.

Het aantal termen in een volgorde kan oneindig of eindig zijn. In het oneindige geval (n → ∞) is de sequentie geneigd tot oneindigheid, afhankelijk van het gemeenschappelijke verschil (a n _{→ ± ∞). Als gemeenschappelijk verschil positief is (d> 0), heeft de sequentie een positieve oneindigheid en, als gemeenschappelijk verschil negatief is (d <0), neigt het tot de negatieve oneindigheid. Als de termen eindig zijn, is de volgorde ook eindig.}

De som van de termen in de rekenkundige volgorde staat bekend als de rekenkundige reeks: S

n _{= a} 1 _{+ a} 2 + a ₃ + a ₄ + ⋯ + a _n = Σ _{i = 1 → n} a _i; en S _n = (n / 2) (a ₁ + a _n ) = (n / 2) [2a _{1 < + (n-1) d] geeft de waarde van de serie (S} n) . Meer over Geometrische Sequence (Geometrische Progressie)

Een geometrische sequentie wordt gedefinieerd als een sequentie waarin het quotiënt van elke twee opeenvolgende termen een constante is. Dit is ook bekend als geometrische progressie.

Geometrische volgorde ⇒ a

1

, a

2 _{, a} 3 _{, a} 4 _{, …, a} n <; waar een ₂ / a ₁ = r, a ₃ / a ₂ = r, enzovoort, waar r een echte aantal. _{Het is gemakkelijker om de geometrische volgorde te vertegenwoordigen met behulp van de gemeenschappelijke verhouding (r) en de initiële term (a). Vandaar dat de geometrische sequentie ⇒ a} 1 _{, een} 1

r, a ₁ r ₂ , een ₁ r ³ , …, a ₁ r n-1 . De algemene vorm van de n _th termen gegeven door een ⁿ = a

1 ^r n-1 _{. (Het abonnement van de eerste term verliezen ⇒ a} n _{= ar} n-1 ⁾ _{De geometrische sequentie kan ook eindig of oneindig zijn. Als het aantal termen eindig is, wordt de sequentie geacht eindig te zijn. En als de termen oneindig zijn, kan de sequentie ofwel oneindig of eindig zijn, afhankelijk van de verhouding r. De gemeenschappelijke verhouding beïnvloedt veel van de eigenschappen in geometrische sequenties.} r> o

0

De sequentie convergeert - exponentiële verval, i. e. a n

→ 0, n → ∞ r = 1	Constante sequentie, i. e. a	n = constant r> 1
De sequentie divergeert - exponentiële groei, i. e. a	n → ∞, n → ∞ r <0
	-1 De sequentie is oscillerend, maar convergeert r = 1
De sequentie is afwisselend en constant, i. e. a n	= ± constant	r <-1
De volgorde is afwisselend en afwijkend. ik. e. a	n → ± ∞, n → ∞ r = 0
De reeks is een reeks nullen	N. B: In alle bovenstaande gevallen is een 1 > 0; als een 1
<0, zullen de tekens met betrekking tot een	n

omgekeerd worden. _{Het tijdsinterval tussen de bounces van een bal volgt een geometrische sequentie in het ideale model en het is een convergerende volgorde.} De som van de termen van de geometrische sequentie staat bekend als een geometrische serie; S _n = ar + ar ₂ + ar

3

+ ⋯ + ar _n = Σ ^{i = 1 → n ar} i ^{. De som van de geometrische serie kan worden berekend aan de hand van de volgende formule.} S ⁿ = a (1-r n _{) / (1-r)} ; waar a de eerste term is en r de verhouding is. ^{Als de verhouding, r ≤ 1, convergeert de serie. Voor een oneindige serie wordt de waarde van convergentie gegeven door S} n

= a / (1-r) _{Wat is het verschil tussen rekenkundige en geometrische sequentie / progressie?} • In een rekenkundige volgorde hebben elke twee opeenvolgende termen een gemeenschappelijk verschil (d), terwijl in elke geometrische volgorde elke twee opeenvolgende termen een constante quotiënt (r) hebben. ^{• In een rekenkundige volgorde is de variatie van de termen lineair, i. e. een rechte lijn kan door alle punten worden getrokken. In een geometrische serie is de variatie exponentieel; ofwel groeien of vervallen op basis van de gemeenschappelijke verhouding.} • Alle oneindige rekenkundige sequenties zijn divergent, terwijl oneindige geometrische series ofwel divergent of convergent kunnen zijn. • De geometrische serie kan oscillatie tonen als de verhouding r negatief is, terwijl de rekenkundige serie geen oscillatie toont