Verschil tussen lineaire vergelijking en niet-lineaire vergelijking

Lineaire Equation vs Nonlinear Equation

in wiskunde expliciet zijn, zijn algebraïsche vergelijkingen vergelijkingen die worden gevormd door gebruik te maken van polynomen. Wanneer expliciet geschreven, zullen de vergelijkingen van de vorm P ( x ) = 0 zijn, waar x een vector van n onbekende variabelen is en P een polynoom is. Bijvoorbeeld, P (x, y) = 4x 5 + xy 3 + y + 10 = 0 is een algebraïsche vergelijking in twee variabelen die expliciet zijn geschreven. Ook is (x + y) 3 = 3x 2 y - 3zy 4 een algebraïsche vergelijking, maar in impliciete vorm en het zal het formulier Q x, y, z) = x 3 + y 3 + 3xy 2 + 3zy 4 = 0, uitdrukkelijk schriftelijk geschreven.

Een belangrijk kenmerk van een algebraïsche vergelijking is de graad ervan. Het wordt gedefinieerd als de hoogste kracht van de termen die in de vergelijking voorkomen. Als een term bestaat uit twee of meer variabelen, wordt de som van de exponenten van elke variabele gebruikt als de kracht van de term. Let op dat volgens deze definitie P (x, y) = 0 van graad 5 is, terwijl Q (x, y, z) = 0 is van graad 5.

Lineaire vergelijkingen en niet-lineaire vergelijkingen zijn een twee-partitie gedefinieerd op de set van algebraïsche vergelijkingen. De mate van de vergelijking is de factor die ze van elkaar onderscheidt.

Wat is een lineaire vergelijking?

Een lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 1. Bijvoorbeeld, 4x + 5 = 0 is een lineaire vergelijking van een variabele. x + y + 5z = 0 en 4x = 3w + 5y + 7z zijn lineaire vergelijkingen van respectievelijk 3 en 4 variabelen. In het algemeen zal een lineaire vergelijking van n variabelen de vorm m 1 x 1 + m 2 x 2 + ... + m n-1 x n-1 + m n x n = b. Hier zijn x i 's de onbekende variabelen, m i ' s en b zijn echte getallen, waarbij elk van m i niet-nul is.

Een dergelijke vergelijking vertegenwoordigt een hypervlak in de n-dimensionale Euclidische ruimte. In het bijzonder vertegenwoordigt een twee variabele lineaire vergelijking een rechte lijn in het Cartesische vliegtuig en een drie variabele lineaire vergelijking staat voor een vlak op de euclidische 3-ruimte.

Wat is een niet-lineaire vergelijking?

Een kwadratische vergelijking is een algebraïsche vergelijking, die niet lineair is. Met andere woorden, een niet-lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 2 of hoger. x 2 + 3x + 2 = 0 is een enkele variabele niet-lineaire vergelijking. x 2 + y 3 + 3xy = 4 en 8yzx 2 + y 2 + 2z 2 + x + y + z = 4 zijn voorbeelden van niet-lineaire vergelijkingen van respectievelijk 3 en 4 variabelen.

Een tweede graad niet-lineaire vergelijking heet een kwadratische vergelijking. Als de graad 3 is, dan heet het een kubieke vergelijking. De graad 4 en graad 5 vergelijkingen worden respectievelijk quartische en quintische vergelijkingen genoemd.Er is bewezen dat er geen analytische methode bestaat om een ​​niet-lineaire vergelijking van graad 5 op te lossen, en dit geldt ook voor een hoger niveau. Oplosbare niet-lineaire vergelijkingen vertegenwoordigen hyperoppervlakken die geen hypervlakken zijn.

Wat is het verschil tussen lineaire vergelijking en niet-lineaire vergelijking?

• Een lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 1, maar een niet-lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 2 of hoger.

• Alhoewel een lineaire vergelijking analytisch oplosbaar is, is het niet het geval bij niet-lineaire vergelijkingen.

• In de n-dimensionale Euclidische ruimte is de oplossingruimte van een n-variabele lineaire vergelijking een hypervlak, terwijl die van een n-variabele niet-lineaire vergelijking een hyperoppervlak is, dat geen hyperplan is. (Quadrics, kubieke oppervlakken en dergelijke)